Il corso "continuità in matematica" ha avuto luogo presso la scuola elementare F. Santi, 177ƒ Circolo di Roma, dal 6 ottobre 1999 al 24 maggio 2000 ed ha avuto la durata di 30 ore, suddivise in dieci incontri di tre ore ciascuno.

Hanno partecipato docenti che insegnano matematica nelle scuole materne, elementari, medie e superiori.

Obiettivi:

• sollecitare una riflessione comune dei docenti di ordini e gradi di scuola diversi su temi specifici;

• sollecitare una riflessione comune su "cosa accade prima" e "cosa accade dopo" il proprio segmento scolastico.

I partecipanti sono stati suddivisi in quattro laboratori, ognuno dei quali ha affrontato una tematica particolare:

• Primo laboratorio: Trasformazioni geometriche

• Secondo laboratorio: Enti numerici

• Terzo laboratorio: Insiemi, funzioni e logica

• Quarto laboratorio: Il difficile passaggio scuola - università

Le attività di ogni laboratorio sono state coordinate da un gruppo di esperti.

Ad ognuno dei primi tre laboratori hanno partecipato cinque docenti delle elementari, cinque docenti delle medie, cinque docenti delle secondarie superiori. Al quarto laboratorio hanno partecipato quindici docenti delle secondarie superiori.

Inoltre sono stati realizzati tre seminari per i docenti di tutti e quattro i laboratori e due incontri di verifica finale.

Attività sulle trasformazioni geometriche sono previste negli attuali programmi di tutti gli ordini di scuola, ma sono spesso trascurate o addirittura assenti nella pratica quotidiana. Forse per mancanza di esperienza, forse per mancanza di tempo, sta di fatto che gli argomenti legati a questo tema non hanno ancora trovato il loro spazio.

Questo laboratorio ha quindi voluto rappresentare l'occasione per discutere e riflettere insieme su modi e modalità dell'insegnamento delle trasformazioni geometriche. Le attività del laboratorio sono state impostate tenendo presenti due principali direttrici di lavoro:

• necessità di riflettere, a livello adulto, sul problema generale della continuità e sul tipo di conoscenze e abilità che ogni singola attività comporta ai diversi livelli di scolarità;

• consentire un confronto costruttivo su ciò che gli insegnanti ritengono essenziale che i propri allievi dovrebbero sapere e saper fare quando passano da un livello di scolarità al successivo.

Se un determinato argomento o tema è infatti presente in verticale nei programmi dei diversi ordini di scuola, diventa essenziale l'individuazione di livelli di competenza da raggiungere via via che il percorso dell'allievo si snoda lungo gli anni della sua scolarizzazione. Questo modo di vedere e di organizzare il lavoro da un lato ha il vantaggio di evitare eccessive sovrapposizioni di contenuto, cioè di far ripetere a bambini e ragazzi gli stessi argomenti più volte negli anni, dall'altro consente di lavorare soltanto sul "valore aggiunto" che quel particolare livello di scolarità deve offrire. Il presupporre il possesso di particolari competenze offre tra l'altro il vantaggio di poter effettuare diagnosi iniziali mirate e di poter così programmare eventuali interventi di riequilibrio maggiormente finalizzati al recupero di specifiche carenze.

Ipotesi di prodotto finale di un laboratorio sulla continuità è quindi quello di fornire un quadro articolato delle competenze che, su uno stesso tema, dovrebbero essere ragionevolmente possedute in uscita da un determinato ciclo di studi; questo stesso quadro fornisce di converso anche indicazioni sui prerequisiti che un allievo dovrebbe possedere in ingresso a un determinato ciclo di scolarità.

Il materiale relativo ai primi incontri è finalizzato a fornire informazioni sui contenuti specifici che in generale sono trattati a un determinato livello di scolarità: scuola materna ed elementare, scuola media e biennio di scuola secondaria superiore. La seconda parte di ogni giornata è dedicata all'analisi e allo svolgimento di attività organizzate secondo diverse modalità di lavoro:

• movimenti all'interno dello spazio ambiente, ispirati a una metodologia del fare per capire, per analizzare in prima persona difficoltà e potenzialità di una determinata attività;

• analisi di schede di lavoro effettuata "a tavolino"; in queste schede si richiede l'individuazione di caratteristiche e proprietà di figure o di disegni;

• attività legate alla manualità tra le quali, ad esempio, la piegatura della carta o la costruzione di modelli concreti di oggetti, utilizzando anche materiale cosiddetto "povero";

• uso di materiale strutturato, quale ad esempio la tela elastica, che offre la possibilità di realizzazione trasformazioni in modo continuo.

L'uso di diverse modalità di lavoro consente una riflessione comune sulla metodologia di lavoro ai vari livelli e sul concetto di "continuità metodologica", che dovrebbe essere parte caratterizzante del processo di insegnamento all'interno di tutta quella che possiamo definire la futura scuola obbligatoria, fino al biennio del ciclo secondario, attuale biennio della scuola secondaria superiore, salvo la differenza di un anno derivante dalla riforma dei cicli.

Le attività proposte per ogni singola giornata rappresentano quindi un esempio relativamente ad alcuni nodi che possono costituire un punto di riferimento, di contenuto oppure metodologico, per sviluppare un percorso sulle trasformazioni, i cui esiti possono ad esempio essere diagnosticati utilizzando il materiale proposto come prove.

Le prove di passaggio vogliono essere una prima ipotesi attorno alla quale riflettere per raggiungere un soddisfacente insieme di quesiti con i quali rilevare le competenze possedute, con un accettabile grado di significatività.

In questo senso anche lo schema comparativo finale su conoscenze e abilità, rappresenta una proposta di partenza che va discussa, elaborata e perfezionata, con l'obiettivo di arrivare ad una diffusa condivisione tra gli insegnanti di matematica, realizzando così, alla lunga, l'obiettivo primario del laboratorio, cioè quello di articolare un effettivo percorso di continuità sulle trasformazioni geometriche.

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I temi affrontati in questo laboratorio sono particolarmente significativi e problematici in una prospettiva di continuità, non solo perché il loro sviluppo avviene in un lungo periodo di tempo che a volte abbraccia tutto l'arco scolare, ma anche per la loro accentuata natura trasversale, sia all'interno della matematica, sia tra le diverse discipline di studio.

Il problema della continuità viene così a porsi non solo nella dimensione verticale, durante lo sviluppo di tutto il curricolo, ma anche nella dimensione longitudinale attraverso attività meta o trans-disciplinari, con conseguenti difficoltà nella formulazione di una programmazione esaustiva e sistematica.

Un ulteriore elemento di difficoltà, sul piano della progettazione e gestione delle attività didattiche, è rappresentato dal fatto che, spesso, soprattutto nei livelli scolari più bassi, alcuni contenuti, si pensi ad esempio a questioni di logica e linguaggio, a volte non possono essere oggetto di insegnamento esplicito e formalizzato, ma vanno recuperati all'interno di attività, le più varie, la cui finalità primaria è di altra natura.

Tutto ciò comporta, nella prassi scolastica, il rischio di incorrere in due possibili errori:

• Tralasciare, di norma, questioni generali legate al tema insiemi, funzioni e logica

• affrontare in modo sistematico tutte le questioni legate al tema insiemi, funzioni e logica e farne sempre oggetto di una trattazione formale.

Nel primo caso si perdono delle buone occasioni per contribuire allo sviluppo del pensiero astratto e delle capacità di riflessione dello studente. Nel secondo, anche quando non si generi nell'allievo noia o rifiuto, si rischia sempre di proporre un oggetto inutile, che sembra non avere alcun legame con l'attività matematica di tutti i giorni.

La presenza pervasiva, in tutta la matematica, di strumenti quali funzioni, relazioni, rappresentazioni simboliche di vario tipo e di regole deduttive, principi di coerenza, di equivalenza logica . . . non consente una loro collocazione temporale curricolare, come avviene ad esempio per argomenti di aritmetica, di algebra, di geometria o di altri contenuti di insegnamento. C'è dunque il rischio che, nella pratica didattica, si possano ripetere, anche più di una volta, gli stessi contenuti nello stesso modo.

Per queste ragioni abbiamo utilizzato il laboratorio per discutere, riflettere, instaurare un confronto tra insegnanti operanti in diversi ordini di scuola, soprattutto su quegli argomenti che vengono riproposti nei programmi di studio a diversi livelli scolari.

Nei cinque incontri - laboratorio con gli insegnanti sono stati proposti i seguenti temi:

Il connzioni: problemi di continuità e discontinuità

Ciascuno dei cinque temi, introdotto da una relazione sintetica da parte del gruppo esperti, è stato affrontato in lavori di gruppo. I gruppi, formati da insegnanti di diverso ordine di scuola, hanno, in primo luogo risolto o affrontato direttamente gli esercizi e le attività proposte mediante schede di lavoro, successivamente hanno riflettuto, ciascuno in riferimento al proprio livello scolare, sulle conoscenze e abilità richieste o attivate da ogni esercizio proposto. Secondo le consegne ricevute, ciascun gruppo, ha confrontato abilità e conoscenze all'uscita di un ciclo di studi con quelle richieste nel ciclo successivo, ragionando in termini di parole chiave e classificando le conoscenze e abilità in termini di sapere e di saper fare.

Questo ha consentito di tracciare una sorta di mappa di competenze ai diversi livelli scolari, in modo da rendere naturale il passaggio da un ciclo di studi ad un altro.

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Oggi disponiamo dei risultati di una grande varietà di studi sperimentali in Didattica della Matematica e di elaborazioni teoriche nel settore delle Scienze Cognitive e di riflessioni storico-epistemologiche dedicati ai numeri, al concetto di numero ed alle abilità numeriche. Possiamo dire che disponiamo di evidenza sperimentale e teorica del fatto che i processi di acquisizione del concetto di numero, di insiemi numerici e delle loro strutture astratte sono processi complessi e non lineari. In questo quadro i concetti non si formano né immediatamente, né nell'isolamento. Essi cioè hanno una storia, che si radica nelle prime esperienze percettive e comunicative e appartengono sempre ad un sistema, che li interconnette in modi più o meno complessi, profondi ed estesi.

In questo quadro diamo maggiormente conto della inevitabile instabilità di alcune abilità di lavoro, che ripetutamente rileviamo nella azione di non pochi allievi e possiamo partire dall'assunto che in aritmetica i comportamenti e le proprietà sono indotti da esempi; sottolineamo che la considerazione di una varietà di contesti particolari, la manipolazione di una molteplicità di materiali e la familiarità con una varietà di rappresentazioni iconiche e grafiche risultano determinanti per la maturazione del concetto di numero, di abilità ad operare con numeri.

Inoltre, la non linearità dei processi di acquisizione e apprendimento dei numeri fa apparire probabile che una rigida sequenzialità temporale delle diverse accezioni o introduzioni di numero blocchi la maturazione del concetto, perché finisce con il favorire un uso inconsapevole di aspetti puramente operativi e ad un livello formale scisso da azioni di controllo sui significati.

Un buon senso del numero e delle sue rappresentazioni costituisce una sorgente preziosa di flessibilità ed scelta appropriata di rappresentazioni e di schemi risolutivi nella soluzione di problemi. Componente caratteristica del senso del numero (nello stesso tempo conseguenza e causa) è la capacità di produrre processi di calcolo aritmetico, senza l'aiuto di algoritmi scritti, di materiale concreto o di una calcolatrice.

Il Laboratorio sugli Enti Numerici si è occupato di riflettere sulle problematiche sopra accennate in una prospettiva di continuità e di soluzione di continuità lungo l'arco della scolarità pre- universitaria.

Ogni incontro focalizzato su un tema ampio e trasversale rispetto ai vari livelli di scolarità è stato articolato in due fasi: una fase seminariale ed una di laboratorio.

• evidenziare aspetti concettuali, abilità logiche, abilità operative e metacognitive coinvolte in attività di Aritmetica ai vari livelli scolari;

• porre in discussione la pertinenza di singoli aspetti ed abilità rispetto a specifici livelli scolari;

• porre il problema delle continue riconcettualizzazioni o ricostruzioni concettuali nel passaggio da ambiti particolari ad ambiti generali, da lavoro sul concreto a lavoro su aspetti simbolici e teorici;

• distinguere nelle varie attività proposte diverse modalità di uso: per lo sviluppo del curricolo, per il rinforzo, per il recupero.

• svolgere lavoro a livello adulto su attività inconsuete per il proprio livello scolare in modo da scoprirne le valenze didattiche;

• condividere le osservazioni sulle potenzialità e difficoltà degli allievi impegnati nelle singole attività ed eventuali questioni relative alle modalità di gestione didattica delle stesse;

• progettare varianti delle stesse attività per altri livelli scolari;

• proporre nuove attività centrate sugli stessi nodi concettuali o metodologici.

Per raggiungere gli obiettivi sopra indicati ogni incontro di laboratorio si articola su tre diverse tipologie di schede di lavoro:

Schede di lavoro: una per ogni incontro, con l'indicazione dell'argomento generale sul quale lavorare e con una serie di attività, quesiti, strumenti operativi inerenti al tema scelto. Tali schede sono date all'inizio dell'incontro ai corsisti che in maniera autonoma, ma in gruppo, lavoreranno rivestendo prima il ruolo dell'allievo (risolvendo i quesiti) e poi del docente (analizzando le valenze didattiche) secondo la seguente traccia:

le abilità logico - operative sollecitate negli alunni

il livello di scuola e l'età più adatta e l'utilizzazione più proficua nel curricolo

possibili varianti per l'utilizzazione ai diversi livelli scolari

aspetti di contenuto e/o metodologici legati alla esperienza didattica coinvolti dalle proposte esaminate.

Schede di soluzione dei quesiti proposti: riportano alcuni possibili percorsi risolutivi delle attività proposte e non sono inizialmente consegnate ai corsisti che sanno di dovere accedervi in fase finale per un riscontro del lavoro svolto o per prendere atto di diverse metodologie di risoluzione. I singoli quesiti non sono risolti in modo puntuale e esaustivo ma sono date tracce o metodologie di soluzione.

Schede di osservazioni didattiche sulle attività proposte, che rimangono interne al gruppo che organizza le attività per il laboratorio e garantiscono una omogeneità di base del lavoro dei vari gruppi di lavoro, contengono indicazioni sulle implicazioni didattiche delle attività proposte, sulle modifiche che possono essere apportate per adeguarle ai diversi gradi di scolarità, sugli iter didattici di uno stesso argomento dalla scuola materna alle superiori, su riflessioni matematiche, linguistiche, psicologiche, etc.

I lavori di gruppo hanno preso in esame il problema del passaggio al successivo di un numero in una data struttura; l'ordinamento dell'insieme Q dei numeri razionali, la relazione tra struttura additiva e struttura moltiplicativa nei vari insiemi numerici.

L'obiettivo principale del lavoro del terzo incontro è stato quello di concordare con gli insegnanti dei cicli confinanti alcune prove di uscita/ingresso adatte a rilevare le acquisizioni e le capacità, raggiunte (in uscita) /presenti (in entrata) dagli alunni; ovvero, di individuare le discordanze tra insegnanti di cicli di studio confinanti al fine di impostare una strategia per superarle. Obiettivo strumentale è stato quello di distinguere attività, prove, item nelle due categorie del sapere e saper fare per esaminare concordanze e discordanze tra cicli di studio confinanti.

L'intero incontro è stato dedicato ad attività di laboratorio ed organizzato in due fasi: nella prima hanno lavorato 4 gruppi omogenei per scolarità, mentre nella seconda tre gruppi eterogenei.

Alcuni partecipanti al corso hanno messo a disposizione materiali in uso nelle proprie classi e dei quali quindi potevano rispondere in termini di efficacia e versatilità sia nel caso si trattasse di materiale personale che di materiale a vario titolo entrato in uso nei rispettivi ambiti scolastici. Come i test Prometeo, Ricme e Vamio.

Con il quinto incontro si torna sul tema già affrontato durante il secondo incontro dell'uso dei materiali concreti ancora una volta in stretta correlazione con aspetti simbolici e teorici. La riflessione iniziale condotta da Anna Allerhand verte sulla forma dei numeri. In particolare viene affrontata la questione dei sistemi di numerazione e della dipendenza di aspetti di codice nei numeri dal numero scelto come base.

Il passaggio scuola ñ università crea molte difficoltà agli studenti. Moltissime ricerche hanno infatti messo in evidenza che la percentuale di studenti che non riesce a superare il primo anno dei corsi universitari è molto alta.

Le ragioni di ciò sono molteplici. Una di queste è una non adeguata preparazione iniziale.

Di ciò pare essere ben consapevole il Ministero dell'Università e della Ricerca Scientifica e Tecnologica (M.U.R.S.T.) : ha infatti emesso un decreto di cui riportiamo parte degli articoli 6 e 11. Il corsivo è stato aggiunto da me.

Varie evidenze mostrano che gli studenti incontrano particolari difficoltà nei corsi a contenuto matematico.

L'Unione Matematica Italiana (U.M.I.) ha da tempo provato a porre rimedi alle difficoltà incontrate in matematica dagli studenti all'inizio dei corsi universitari.

Già nel 1980 ha infatti pubblicato il Syllabus di Matematica in cui veniva elencato ciò che dovevano "sapere" e ciò che dovevano "saper fare" gli studenti che intendevano iscriversi ad un corso di Laurea ad alto contenuto matematico.

Nel 1999 l'U.M.I. ha redatto una nuova versione del Syllabus molto più dettagliata e corredata da un gran numero di esercizi.

Nel corso del primo incontro del corso di aggiornamento Giuseppe Accascina ha presentato il nuovo Syllabus mettendone in evidenza le differenze dal primo. Ai partecipanti al corso di aggiornamento, suddivisi in piccoli gruppi, è stato poi chiesto di analizzare e commentare alcune parti del nuovo Syllabus.

Il nuovo Syllabus contiene, tra l'altro, un test di autovalutazione formato da domande con risposte a scelte multiple. E' il tipo di valutazione che con molta probabilità verrà utilizzato nelle prove di verifica delle conoscenze iniziali degli studenti descritte nel citato decreto M.U.R.S.T.

Anche la terza prova degli esami di stato può essere organizzata somministrando un test con risposte a scelte multiple. E' quindi necessario che sia i docenti che gli studenti siano abituati ad usare questo tipo di prova di verifica.

Nel corso del secondo incontro Gian Paolo Parodi ha illustrato come può essere organizzata una prova di verifica. Ha evidenziato innanzitutto i limiti dei controlli scolastici tradizionali sia scritti che orali. Ha quindi illustrato le prove oggettive di profitto del tipo a scelte multiple mettendone in evidenza i vantaggi, i limiti e i pregiudizi che molti insegnanti hanno su esse. Ha poi spiegato come pianificare una prova oggettiva, quali regole seguire nella costruzione di un test a scelte multiple ed ha elencato quali sono i problemi organizzativi e disciplinari. Ha infine mostrato molti esempi di item che contengono errori di formulazione.

Nella seconda parte del secondo incontro sono state dati ai partecipanti alcuni item ed è stato chiesto loro di dire se essi fossero proponibili o se contenessero errori. L'analisi collettiva ha evidenziato quanto sia delicata la stesura di un test.

Oltre ai test a scelte multiple esistono altri tipi di prove di verifica. Nel terzo incontro Giovanni Olivieri ne ha mostrato alcuni tipi evidenziandone vantaggi e svantaggi. Ha in particolare parlato di domande aperte, semi aperte (o semi chiuse o semi strutturate). Ha infine presentato una ricerca in cui vengono confrontate le risposte date dagli studenti in due test che contenevano essenzialmente le stesse domande. In uno di essi le domande erano aperte, nell'altro erano chiuse.

Sono state poi assegnate ai partecipanti alcune schede di lavoro.

La discussione che ne è nata ha messo in evidenza il problema della valutazione di una prova semistrutturata.

Nel periodo intercorrente tra il terzo e il quarto incontro è stata consegnata ai partecipanti al corso una prova di verifica. E' stato chiesto loro di somministrare la prova ai loro studenti dopo averli suddivisi in due gruppi.

Al primo gruppo viene somministrato un test contenente otto domande a risposta multipla e otto domande a risposta aperta.

Al secondo gruppo viene somministrato un secondo test contenente le stesse sedici domande del primo test. La differenza sta nel fatto che le domande a risposta multipla sono diventate a risposta aperta e viceversa.

Ai docenti partecipanti al corso è stato anche chiesto di prevedere, per ogni domanda, la percentuale degli studenti che avrebbero risposto esattamente.

Tutte le domande sono tratte da:

G.Accascina, P.Berneschi, S.Bornoroni, M.De Vita, G. Della Rocca, G.Olivieri, G.P.Parodi La strage degli innocenti. Problemi di raccordo in matematica tra scuola e università.

Il quarto incontro si è svolto dopo che i partecipanti avevano fatto svolgere ai loro studenti la prova di passaggio scuola ñ università. Silvana Bornoroni ha presentato La strage degli innocenti. Il libro è frutto di una ricerca iniziata nel 1990.

Bornoroni ha illustrato le varie fasi della ricerca e i risultati ottenuti.

In una prima fase si è confrontata la preparazione reale degli studenti con la preparazione virtuale degli studenti così come è ipotizzata dai docenti di scuola e dai docenti universitari. Gli autori del libro sono dell'idea che una delle difficoltà incontrate dagli studenti stia proprio nella differenza tra preparazione reale e preparazione virtuale.

Nella seconda fase della ricerca è stata analizzata la preparazione di un campione di studenti di Matematica e di Ingegneria dell'Università "La Sapienza" di Roma. Un più ristretto gruppo di studenti è poi stato seguito durante tutto il loro primo anno d'università registrando le loro impressioni durante l'anno e il loro andamento negli esami di matematica.

Dopo il seminario è stato chiesto ai partecipanti di individuare tra gli item assegnati nella prova di passaggio quelli che sono risultati più facili e quelli che sono risultati più difficili e di fare delle ipotesi sulla natura delle difficoltà incontrate dagli studenti.

Nel quinto incontro Maria Cristina Ipsevich ha presentato un'analisi dei dati della prova di passaggio scuola ñ università che i partecipanti hanno somministrato ai loro studenti. Sono state esaminate le risposte di 234 studenti.

Per ogni singola domanda sono state confrontate le risposte date nella versione a risposta multipla con quelle date nella versione a risposta aperta. E' stato fatto poi un confronto tra la conoscenza "virtuale" (così come l'hanno prevista i docenti) e conoscenza "reale". Il confronto infine tra i risultati ottenuti in questa prova di passaggio e i risultati ottenuti nella Strage degli innocenti ha mostrato che non vi sono apprezzabili differenze.

Sono state infine distribuite schede di lavoro in cui si chiede ai partecipanti di analizzare le difficoltà incontrate dai loro studenti.

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